概率论中的分号表示

在贝叶斯推断和参数估计等相关文献中常见\(P(X|Y)\)与\(P(X;Y)\)两种不同的表示方法，常常令初学者感到困惑：参数\(Y\)和随机变量\(X\)到底是什么关系？二者有什么区别？

简单来说，分号用来分隔变量和参数，其中分号左边是随机变量，分号右边的部分表示未知但确定的参数，这种情况下，也可以用“|”进行分隔，即分号与“|”等价。

更具体来看，判断表达式的含义需要根据上下文中Y表示了什么：

	Y	解释
P(X|Y)	随机变量	条件概率分布
P(X|Y)	未知但确定的参数	在给定参数Y时，X的概率分布
P(X;Y)	未知但确定的参数	在给定参数Y时，X的概率分布，与P(X|Y)表示的含义相同，可理解为是一种P(X)，亦可写作：\(P_Y(X)\)

通过上表对比可见，若\(Y\)是未知但确定的参数，\(P(X|Y)\)与\(P(X;Y)\)的表示是等价的，但我更喜欢分号分隔的表示法，可以与条件概率的表示更明确地加以区别。

再举个例子，对于线性回归模型\(y=wx+b\)，定义待估计参数\(\theta=(w, b)\)，给定数据集\(D\)，则似然函数可写作\(L(\theta;D)\)或\(L(\theta|D)\)，它可以理解为就是\(L(\theta)\)或\(L_D(\theta)\)，是关于\(\theta\)的一个函数。